Question

【题目】过椭圆上一点作两条直线，与椭圆另交于，点，设它们的斜率分别为，．

（1）若，，求的面积；

（2）若，，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1） 先通过点斜式分别写出直线，的方程，再通过曲直联立求出点和的坐标，

从而求得直线的方程以及线段的长，然后利用点到直线的距离公式求出的高，从而求得其面积.

（2）设的中点为点，然后分类讨论，①当直线过原点时，可得知直线的方程为；②当直线不过原点时，结合平面几何知识可得点，，三点共线，然后设直线的方程为，，，，，，，再通过曲直联立、韦达定理和点坐标公式，得到，，所以直线斜率为，所以直线的斜率与直线斜率不相等，即点，，三点不共线，与前面的结论矛盾，最后得到直线的方程为．

解：（1）因为，，

所以直线，方程分别为，，

由，得：，

由此解得，，所以，

同理可得：，

所以直线的方程为，

所以，

（2）设的中点为点，

①当直线过原点时，点与点重合，

因为，所以，

所以直线的方程为，

②当直线不过原点时．设，，，，，

在中，因为，所以，

在中，因为，所以，

所以点，，三点共线，

因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，

设直线的方程为，

由，得：，

由韦达定理知，，，

所以，，

所以直线斜率为，所以直线的斜率与直线斜率不相等，

点，，三点不共线（与上面的结论矛盾），

综上：所求直线的方程为.