Question

【题目】已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）解法一：零点分区间，分类讨论，解绝对值不等式；解法二：画出图像，数形结合找到的解集.

（2）解法一：数形结合，图像恒在图像上方；解法二：不等式的解集为空集可转化为对任意恒成立，分类讨论，去掉绝对值，利用一次函数保号性解决恒成立问题.

（1）【解法一】

由题意，

当时，，解得，即，

当时，，解得，即，

当时，，解得，即.

综上所述，原不等式的解集为.

【解法二】

由题意

作出的图象

注意到当或时，，

结合图象，不等式的解集为；

（2）【解法1】

由（1）可知，的图象为

不等式的解集为空集可转化为对任意恒成立，即函数的图象始终在函数的图象的下方，如图

当直线过点以及与直线平行时为临界点，所以.

【解法2】

不等式的解集为空集可转化为对任意恒成立，

（i）当时，，即恒成立，

若，显然不合题意，

若，即，则恒成立，符合题意，

若，即，只需即可，解得，故，

所以；

（ii）当时，，即恒成立，

若，即，恒成立，符合题意，

若，即，则恒成立，符合题意，

若，即，只需即可，解得，故，

所以；

（iii）当时，，即恒成立，

若，即，只需即可，解得，故，

若，即，则，不合题意，

若，即，则恒成立，不合题意，所以；

综上所述，.