Question

【题目】已知的图象在处的切线与直线平行．

（1）求函数的极值；

（2）若，，，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）极大值为，无极小值；（2），．

【解析】

(1)可利用导数的几何意义求出a的值,然后利用函数导数得到函数的单调性,求得函数的极值;

(2)所给不等式含有两个变量,通过变形使两个变量分别在不等式两侧,然后构造新函数g(x),转化为函数的单调性即可求解m的范围.

（1）的导数为，

可得的图象在，（1）处的切线斜率为，

由切线与直线平行，可得，

即，，

，

由，可得，由，可得，

则在递增，在递减，

可得在处取得极大值为，无极小值；

（2）可设，若，，

，可得，

即有，

设在为增函数，

即有对恒成立，

可得在恒成立，

由的导数为得：

当，可得，

在递减，在，递增，

即有在处取得极小值，且为最小值，

可得，

解得，

则实数的取值范围是，．