题目内容
【题目】设椭圆
的左、右顶点分别为
，
，上顶点为
，右焦点为
，已知
．
（1）证明：
．
（2）已知直线
的倾斜角为
，设
为椭圆
上不同于，的一点，
为坐标原点，线段
的垂直平分线交
于
点，过且垂直于
的直线交
轴于
点，若
，求直线的方程．
【答案】（1）见解析（2）y
（x﹣2）．
【解析】
（1）直接由
得
，
的关系，再由，
，的关系证得结论；
（2）由直线
的倾斜角可得，
的关系，再由（1）可得椭圆的标准方程，写出
，
，
的坐标及线段
的中垂线方程，设直线
，求出
的坐标，由题意求出
的坐标，再由
得直线的方程．
解：（1）证明：因为，所以
，即
，两边平方得：
，而
，
；
（2）因为直线的倾斜角为
，所以
，
，又由（1）得：
，
，
解得：
，
，
，所以椭圆的方程为：
；所以可得：
，
，
，设的坐标
，设直线
，线段的中垂线为
，
所以由题意得
，
，直线
的方程：
，令
得点坐标
，
联立直线与椭圆的方程
，整理得：
，
，
即
，
，所以点
，
，
，
，
因为，
，解得：
，
所以直线的方程为：
．
【题目】某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 | 选考方案确定情况 | 物理 | 化学 | 生物 | 历史 | 地理 | 政治 |
男生 | 选考方案确定的有8人 | 8 | 8 | 4 | 2 | 1 | 1 |
选考方案待确定的有6人 | 4 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
女生 | 选考方案确定的有10人 | 8 | 9 | 6 | 3 | 3 | 1 |
选考方案待确定的有6人 | 5 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |
（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
（2）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；
（3）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量
求
的分布列及数学期望
．
