Question

【题目】已知函数，

（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求， 的值；

（Ⅱ）若， 求函数的零点的个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出的导数，由， ，可解得；（Ⅱ）先确定函数至少一个零点，在分五种情况讨论: ， ， ， , ,分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数的最值与极值，结合函数图象可得各种情况下函数的零点的个数.

试题解析：（Ⅰ） 的导数为， ，

，解得

（Ⅱ），易得有一个零点为

令，

（1）若，则，无零点，所以函数只有一个零点；

（2）若，则

①若，则所以单调递增，而， ，

所以有一个零点，所以有两个零点；

②若，由，知， ，所以在单调递减，

在单调递增；所以函数的最小值为

（ⅰ）当即时， ，所以无零点，

所以函数只有一个零点

（ⅱ）当时，即，所以有一个零点，所以函数有两个零点

（ⅲ）当时，即时， ，所以有两个零点，所以函数有三个零点

综上，当或时，函数只有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点

（利用函数图像的交点个数讨论酌情给分）