Question

如图（5），已知为不在同一直线上的三点，且_，

_.

(1)求证:平面//平面；

(2)若平面，且,,

求证：A₁C丄平面AB₁C₁

(3)在（2）的条件下，求二面角C₁-AB₁ -C的余弦值.

Answer 1

解：（1）证明：∵且

∴四边形是平行四边形，

∴,∵面，面

∴平面，

同理可得平面,又,

∴平面//平面

(2)证法1：

∵平面，平面∴平面平面，

平面平面=，

∵,,   ∴ ∴ 

∴平面

∴，∵∴

又,得为正方形，∴

又,

∴A₁C丄平面AB₁C₁

【证法2：∵,,   ∴ ∴，

∵平面，  ∴平面

以点C为原点，分别以AC、CB、CC₁所在的直线为x、y、z轴建立空间

直角坐标系如图示，由已知可,

,

则,

∵   ∴

又∴平面.

(3)由（2）得

设平面的法向量，则由得，

令得

由（2）知是平面的法向量，∴,

即二面角C₁-AB₁ -C的余弦值为.

（其它解法请参照给分）