Question

在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；

②

 (1) 求曲线的方程;

(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.

Answer 1

解：（1），

        ，    

由①得：

，

      即          

将代入②得：，

解得：

所以曲线的方程为：           

（2）(解法一)由题意，直线与曲线相切，设切点为，

则直线的方程为，

即        

       将代入椭圆 的方程，并整理得：

由题意，直线与椭圆相切于点，则

，

即       

又 即 联解得：     

由及得

故，   

得又故

所以椭圆离心率的取值范围是   

（2）(解法二)设直线与曲线、椭圆 均相切于同一点则

由知;

由知,

故       

联解,得

由及得

故，  

得又故

所以椭圆离心率的取值范围是