Question

15．已知p：|3x-4|＞2，$q：\frac{1}{{{x^2}-x-2}}$＞0，r：（x-a）（x-a-1）＜0，
（1）?p是?q的什么条件？
（2）若?r是?p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（1）由|3x-4|＞2得3x-4＞2或3x-4＜-2，
即x＞2或x＜$\frac{2}{3}$，即p：x＞2或x＜$\frac{2}{3}$，￢p：$\frac{2}{3}$≤x≤2
由$q：\frac{1}{{{x^2}-x-2}}$＞0得x²-x-2＞0得x＞2或x＜-1，即：￢q：-1≤x≤2，
则￢p是￢q的充分不必要条件．
（2）由（x-a）（x-a-1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，
若￢r是￢p的必要非充分条件，
则p是r的必要非充分条件，
即a≥2或a+1≤$\frac{2}{3}$，
即a≥2或a≤-$\frac{1}{3}$，
即实数a的取值范围是a≥2或a≤-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，根据充分条件和必要条件的定义进行转化是解决本题的关键．