Question

5．已知两点F₁（0，-1），F₂（0，1），且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，则动点P的轨迹方程是$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 根据|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，得到2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，即|PF₁|+|PF₂|=4，得到点P在以F₁，F₂为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程．

解答 解：∵F₁（0，-1），F₂（0，1），
∴|F₁F₂|=2，
∵|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，
∴2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
即|PF₁|+|PF₂|=4，
∴点P在以F₁，F₂为焦点的椭圆上，
∵2a=4，a=2，c=1
∴b²=3，
∴椭圆的方程是$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

点评 本题主要考查了应用椭圆的定义以及等差中项的概念求椭圆方程，关键是求a，b的值．