Question

6．已知E（1，0），K（-1，0），P是平面上一动点，且满足$|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{KE}|=\overrightarrow{PK}•\overrightarrow{EK}$．
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）过点K的直线l与C相交于A、B两点（A点在x轴上方），点A关于x轴的对称点为D，且$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}=-8$，求△ABD的外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），则$\overrightarrow{PE}=（1-x，-y）$，$\overrightarrow{PK}=（-1-x，-y）$，$\overrightarrow{EK}=（-2，0）$，$\overrightarrow{KR}=（2，0）$．由P是平面上一动点，且满足$|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{KE}|=\overrightarrow{PK}•\overrightarrow{EK}$．能求出点P的轨迹C对应的方程．
（2）设l的方程为x=my-1（m＞0）．将x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、点到直线距离公式、弦长公式，结合题意能求出△ABD的外接圆M的方程．

解答 解：（1）设P（x，y），$\overrightarrow{PE}=（1-x，-y）$，
$\overrightarrow{PK}=（-1-x，-y）$，$\overrightarrow{EK}=（-2，0）$，$\overrightarrow{KR}=（2，0）$．
∵$|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{KE}|=\overrightarrow{PK}•\overrightarrow{EK}$，
∴$2\sqrt{{{（1-x）}^2}+{y^2}}=2（x+1）$，
整理，得点P的轨迹C对应的方程为y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），
l的方程为x=my-1（m＞0）．
将x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，
由△＞0，解得m＞1，从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
x₁+x₂=（my₁-1）+$（m{y_2}-1）=4{m^2}-2$，${x_1}{x_2}=\frac{{{y_1}^2{y_2}^2}}{16}=1$．
∵$\overrightarrow{EA}=（{x_1}-1，{y_1}）$，$\overrightarrow{EB}=（{x_2}-1，{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}=（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}$=${x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1+4=8-4{m^2}$．
∴8-4m²=-8，解得m=2，∴l的方程为x-2y+1=0．
设AB中点为（x₀，y₀），
则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=2{m^2}-1=7$，${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=2m=4$，AB中垂线方程y-4=-2（x-7）．
令y=0得x=9，圆心坐标（9，0），到AB的距离为$2\sqrt{5}$．
$|AB|=\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=4\sqrt{15}$．
圆的半径$r=\sqrt{{{（2\sqrt{15}）}^2}-{{（2\sqrt{5}）}^2}}=2\sqrt{10}$，
△ABD的外接圆M的方程（x-9）²+y²=40．

点评 本题考查点的轨迹方程式、圆的方程的求法，考查抛物线、圆的概念、性质的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．