Question

设抛物线C的方程为x²=8y，M为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）当M的坐标为（0，-2）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（Ⅱ）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设过M的切线的方程为y=kx-2，联立

x2=8y y=kx-2

，得x²-8kx+16=0，由△=0，得k=±1，从而MA⊥MB，点M到直线AB的距离为4，由此推导出圆与直线l：y=-2相切．
（Ⅱ）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上的点为M（x₀，y₀），过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为y-y₁=k（x-x₁），由导数的几何意义求出过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为y-y1=

x1

4

(x-x1)，过点B（x₂，y₂）的切线方程为x22-2x0x2+8y0=0，由此推导出当m=2时，直线l上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，当m≠2时，直线l上不存在满足条件的点M．

解答： 解：（Ⅰ）当M的坐标为（0，-2）时，设过M的切线的方程为y=kx-2，
联立

x2=8y y=kx-2

，整理，得x²-8kx+16=0，①
令△=（-8k）²-4×16=0，解得k=±1，
∴MA⊥MB，
将k=±1代入方程①得x=±4，
∴A（4，2），B（-4，2），
∴点M到直线AB的距离为4，
过M，A，B三点的圆的圆心为F（0，2），r=4，
∴圆的标准方程为x²+（y-2）²=16，
又圆心（0，2）到直线l：y=-2的距离d=4-r，
∴圆与直线l：y=-2相切．
（Ⅱ）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上的点为M（x₀，y₀），
过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为y-y₁=k（x-x₁），
∵y′=

1

4

x，∴kMA=y′|x=x1=

1

4

x1，
从而过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为y-y1=

x1

4

(x-x1)，
又切线过M（x₀，y₀），
∴y0=

x1

4

x0-

x12

8

，即x12-2x0x1+8y0=0，
同理，得过点B（x₂，y₂）的切线方程为x22-2x0x2+8y0=0，
∵kMA=

x1

4

，kMB=

x2

4

，且x₁，x₂是方程x²-2x₀x+8y₀=0的两实根，
∴x₁x₂=8y₀，∴k_MA•k_MB=

x1

4

•

x2

4

=

y0

2

，
当y₀=-2时，即m=2时，对直线l上任意点M均MA⊥MB，
当y₀≠-2时，即m≠2，MA与MB不垂直，
综上所述，当m=2时，直线l上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，
当m≠2时，直线l上不存在满足条件的点M．

点评：本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查满足直线垂直的点的个数的判断，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．