Question

计算：
（1）

n

i=1

(1+

i

n

)2×

1

n

（2）

lim

n→∞

n

i=1

(1+

i

n

)2×

1

n

（3）

lim

n→∞

n

i=1

[(

i

n

)2+1]×

1

n

（4）

n

i=1

[(

i

n

)2+1]×

1

n

．

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用等差数列的前n项和公式及公式[12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

]即可得出；
（2）利用（1）和极限的运算性质即可得出；
（4）利用等差数列的前n项和公式及公式[12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

]即可得出；
（3）利用（4）和极限的运算性质即可得出．

解答： 解：（1）∵(1+

i

n

)2=1+

2i

n

+(

i

n

)2，
∴

n

i=1

(1+

i

n

)2×

1

n

=

1

n

[n+n+1+

n(n+1)(2n+1)

6n2

]=

1

6

(2+

1

n

)(7+

1

n

)．
（2）由（1）可得

lim

n→∞

n

i=1

(1+

i

n

)2×

1

n

=

1

6

×2×7=

7

3

．
（4）

n

i=1

[(

i

n

)2+1]×

1

n

=[

n(n+1)(2n+1)

6n2

+n]×

1

n

=

1

6

[(1+

1

n

)(2+

1

n

)+1]．
（3）由（4）可得

lim

n→∞

n

i=1

[(

i

n

)2+1]×

1

n

=

1

6

(1×2+1)=

1

2

．

点评：本题考查了等差数列的前n项和公式及公式[12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

]、极限的运算性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．