Question

平面上有n条直线，它们任意两条不平行，任意三条不共点．设n（n≥1，n∈N）条这样的直线把平面分成f（n）个区域，试求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5）．由此猜想出f（n）并用数学归纳法给出证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：1条直线把平面分成2个区域，2条直线马平面分成2+2个区域，3条把平面分成2+2+3个区域，4条直线把平面分成2+2+3+4个区域，由此可知若n条直线把平面分成f（k）个区域，则f（k+1）-f（k）=k+1．猜想f（n）=

n2+n+2

2

，再根据数学归纳法的证明步骤证明即可．

解答： 解：由题意，f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，f（4）=11，f（5）=16----4分
猜想f（n）=

n2+n+2

2

-----8分
证明：①当n=1时 上式显然成立
②假设当n=k（k≥）时成立，即f(k)=

k2+k+2

2

成立
则当n=k+1时，第k+1条直线与前k条直线相交有k个交点，
所以k个交点将第k+1条直线分成k+1份，每一份将原来的区间分成2份，
所以在原来的基础上增加了k+1个区间．--------12分
所以f（k+1）=f（k）+k+1=

k2+k+2

2

+k+1=

(k+1)2+(k+1)+2

2

所以当n=k+1时成立----------13分
综合①②，所以猜想成立-------14分．

点评：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．