已知向量$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{b}$=(cosωx.-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cosωx)=$\overrightarrow{a}$•($\sqrt{3}\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$)-1.且函数f(x)的最小正周期为$\frac{π}{2}$．的解析式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx，2cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cosωx）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\sqrt{3}\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$）-1，且函数f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式及单调增区间；
（2）设△ABC的三边为a、b、c．已知sinA，sinB，sinC成等比数列，若方程f（B）=k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．

分析（1）利用数量积运算性质、和差公式与倍角公式可得f（x），即可得出ω与单调性．
（2）在△ABC中，由sinA，sinB，sinC成等比数列，可得sin²B=sinA•sinC，利用正弦定理可得b²=ac，可得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，可得$0＜B≤\frac{π}{3}$，求出f（B）=sin$（4B-\frac{π}{6}）$-$\frac{1}{2}$的值域即可得出．

解答解：（1）∵$\sqrt{3}\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$=$（sinωx+\sqrt{3}cosωx，0）$．
f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\sqrt{3}\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$）-1=sinωx•$（sinωx+\sqrt{3}cosωx）$+0-1=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx$+$\frac{1-cos2ωx}{2}$-1=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$-$\frac{1}{2}$，
∵$T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$，∴ω=2．
∴$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$．
当$2kπ-\frac{π}{2}≤4x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，即$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}≤x≤\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}\;\;（k∈Z）$时，函数f（x）单调递增．
∴函数f（x）单调递增区间是$[\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}]$（k∈Z）．
（2）$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
在△ABC中，∵sinA，sinB，sinC成等比数列，
∴sin²B=sinA•sinC，∴b²=ac．
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∴$0＜B≤\frac{π}{3}$，∴$-\frac{π}{6}＜4B-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$．
∵$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∴$f（B）=sin（4B-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}=k$有两个不同的实数解时，k的取值范围是$（-1，\frac{1}{2}）$．

点评本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式与倍角公式、等比数列的性质、三角函数的图象与性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．