Question

如图，四棱锥的底面是正方形，平面．，，是上的点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析    （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）证明：连结．

因为底面是正方形，

所以 ．

因为平面，平面，

所以．……………………………………………………………………3分

又因为，

所以平面．……………………5分

因为平面，

所以．…………………………7分

（Ⅱ）因为平面，

所以．

因为底面是正方形，

所以．

又因为，

所以平面，所以．…………………………………………10分

过点在平面内作于，连结．

由于，

所以平面．

所以．

故是二面角的平面角．………………………………………12分

在中，，，可求得．

在中，，，可求得．

所以．

即二面角的余弦值为．…………………………………………14分

解法（二）（Ⅰ）如图以为原点建立空间直角坐标系．

则，，，，，，

，

．…………………3分

．

所以．即．…………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．

设平面的法向量为，则由

，，得

  即

取，得．……………………………………………………………11分

易知平面的一个法向量为．

设二面角的平面角为．

则．

即二面角的余弦值为．