题目内容
证明：凸n边形（n≥3）的内角和为（n-2）•π．
考点：进行简单的合情推理
专题：证明题,推理和证明
分析：利用数学归纳法进行证明即可．
解答：
证明：1°n=3时，凸n边形就是三角形，而三角形的三个内角和等于π，所以命题成立．
2°设n=k（k＞3）时命题成立，也就是说假设凸k边形时其内角之和等于（k-2）•π．
当n=k+1时，这时的凸n边形就是凸k+1边形．我们可以任选定其一个顶点，过这个顶点的两个顶点作凸k+1边形的一条对角线．在这条对角线的两侧一边是三角形，另一侧是一个凸k边形． 则凸k+1边形的内角之和恰好等于这个三角形的内角之和 加上这个凸k边形的内角之和的总和．
所以有凸k+1边形的内角之和=π+（k-2）•π=（k-1）•π
这就证明了，当n=k+1时，命题成立．
所以，凸n边形（n≥3）的内角和为（n-2）•π．
2°设n=k（k＞3）时命题成立，也就是说假设凸k边形时其内角之和等于（k-2）•π．
当n=k+1时，这时的凸n边形就是凸k+1边形．我们可以任选定其一个顶点，过这个顶点的两个顶点作凸k+1边形的一条对角线．在这条对角线的两侧一边是三角形，另一侧是一个凸k边形． 则凸k+1边形的内角之和恰好等于这个三角形的内角之和 加上这个凸k边形的内角之和的总和．
所以有凸k+1边形的内角之和=π+（k-2）•π=（k-1）•π
这就证明了，当n=k+1时，命题成立．
所以，凸n边形（n≥3）的内角和为（n-2）•π．
点评：本题考查进行简单的合情推理，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
练习册系列答案
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