Question

15．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0）
（1）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，求c的值；
（2）若c=5，求cos∠A的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和向量的坐标运算求出$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的坐标，由向量的数量积运算列出方程，求出c的值；
（2）由题意和两点之间的距离公式求出AB、BC、AC，由余弦定理求出cos∠A的值．

解答 解：（1）∵A（3，4），B（0，0），C（c，0），
∴$\overrightarrow{AB}=（3，4），\overrightarrow{AC}=（c-3，-4）$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，∴3（c-3）-16=0，解得c=$\frac{25}{3}$；
（2）由条件得，A（3，4），B（0，0），C（5，0），
∴AB=5，BC=5，AC=$\sqrt{（5-3）^{2}+（0-4）^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
由余弦定理得，cos∠A=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2•AB•AC}$
=$\frac{25+20-25}{2×5×2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了余弦定理，向量的坐标运算、向量的数量积运算的应用，难度不大．