Question

如图,矩形ABCD与矩形AB′C′D全等,且所在平面所成的二面角为α,记两个矩形对角线的交点分别为Q,Q′,AB=a,AD=b.

(1)求证:QQ′∥平面ABB′;

(2)当b=2a,且α=时,求异面直线AC与DB′所成的角;

(3)当a＞b,且AC⊥DB′时,求二面角α的余弦值(用a,b表示).

Answer 1

解：(1)证明：连结BB′,

∵Q,Q′分别是BD,B′D′的中点,

∴QQ′∥BB′.

而BB′平面ABB′,

∴QQ′∥平面ABB′.

(2)以A为原点,AB、AD分别为x轴.z轴建立空间直角坐标系,如图.

由条件可设A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,0,b),D(0,0,b),

又∠BAB′=,AB′=a,∴B′(,,0),C′(,,b).=(a,0,b),=(,,-b),设异面直线AC与DB′所成角为θ,

则cosθ=.

∵b²=2a²,∴cosθ=.

故异面直线AC与DB′所成角为.

(3)设B′(p,q,0),C′(p,q,b),∵AB′=a,∴p²+q²=a².

∴=(p,q,-b).又有=(a,0,b),∵AC⊥DB′,∴·=pa-b²=0,得pa=b².

设平面AB′C′D的法向量为n=(x,y,z),

∵n⊥,n⊥,而=(0,0,b),=(p,q,0).

∴n=(,1,0),设平面ABCD的法向量为m,则m=(0,±1,0).

∴cosα==±=±.