Question

如图,矩形ABCD中,AB=,BC=2,椭圆M的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线,矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长,椭圆M的离心率大于0.7.

(1)建立适当的平面直角坐标系,求椭圆M的方程;

(2)过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于P,Q两点,设椭圆的右焦点为F₂,当∠PF₂Q=时,求△PF₂Q的面积.

Answer 1

解:方程为=1(a＞b＞0),

(1)依题意:,b=1,a²=b²+c²,

∵椭圆M的离心率大于0.7,∴a²=4,b²=1.∴椭圆方程为+y²=1.

(2)∵直线l过原点与椭圆交于点P、Q,设椭圆M的左焦点为F₁.

由对称性可知,四边形PF₁QF₂是平行四边形.∴△PF₂Q的面积等于△PF₁F₂的面积.

∵∠PF₂Q=,∴∠F₁PF₂=.设|PF₁|=r₁,|PF₂|=r₂,则

∴r₁r₂=.

∴==r₁r₂sin=.