Question

已知函数(a，b均为正常数).
（1）求证：函数在内至少有一个零点；
（2）设函数在处有极值，
①对于一切，不等式恒成立，求的取值范围；
②若函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.

Answer 1

 （1）详见解析；（Ⅱ）①②.

试题分析：（Ⅰ）证明函数在内至少有一个零点，可由零点的存在性定理考察和的符号，若且，则结论成立，若，可将区间进行适当分割，再依上面方法进行，直到找到函数的零点的存在区间；（Ⅱ）易知，从而求出的值.
①不等式恒成立可化分离参数转化为求函数在区间上的最值问题，这是一个普通的三角函数问题，通过判断三角函数的单调性容易解决；②函数在一个已知区间上为增函数，求参数的取值范围问题，通常有两种方法，一是用在这个区间上导函数的符号确定，一般三角函数不用此方法，二是求出函数的单调递增区间，它必包含已知区间，然后考察参数的取值范围.
试题解析：（1）证明：，

所以，函数在内至少有一个零点             4分
（2）由已知得：所以a=2，
所以                                                         5分
①不等式恒成立可化为：
记函数
，所以在恒成立                    8分
函数在上是增函数，最小值为
所以， 所以的取值范围是                                     10分
②由得：，所以                  11分
令，可得                 13分
∵函数在区间（）上是单调增函数，
∴                                     14分
∴，
∵，∴，  ∴   ∴                           16分