Question

已知函数f（x）=

x2+a

ex

（x∈R）（e是自然对数的底数）
（1）当a=-8时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）试比较

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

与

5n

4

e -

1

2

（其中n∈N^*）的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）将x=8代入，利用导数法，分析函数的单调性，进而根据极值的定义得到答案；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上是单调函数，则f′（x）≥0或f′（x）≤0在[-1，2]上恒成立，即-a≤x²-2x或-a≥x²-2x在[-1，2]上恒成立，由二次函数的性质可得实数a的取值范围；
（3）令a=1，利用导数法可得f(k)＜f(

1

2

)，即

k2+1

ek

＜

5

4

e-

1

2

，累加可得

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4

e-

1

2

．

解答： 解：（1）当a=-8时，f（x）=

x2+8

ex

，
f′(x)=-

(x+2)(x-4)

ex

，
令f′（x）＞0，则x∈（-2，4），故f（x）的增区间是（-2，4），
令f′（x）＜0，则x∈（-∞，-2）∪（4，+∞），故f（x）的减区间是（-∞，-2），（4，+∞），
所以y极大值=f(4)=

8

e4

，y极小值=f(-2)=-4e2…（4分）
（2）f′(x)=

-x2+2x-a

ex

，
若f（x）在区间[-1，2]上是单调函数，
则f′（x）≥0或f′（x）≤0在[-1，2]上恒成立，
化简可得：-a≤x²-2x或-a≥x²-2x在[-1，2]上恒成立．
令g（x）=x²-2x，x∈[-1，2]⇒g（x）∈[-1，3]，
∴-a≤-1或-a≥3
∴a≥1或a≤-3…（8分）
（3）令a=1得：f(x)=

x2+1

ex

，
∵f′(x)=

-(x-1)2

ex

≤0恒成立，
所以f（x）在R上为减函数，
对于任意k∈N^*，都有k＞

1

2

，
故有f(k)＜f(

1

2

)即

k2+1

ek

＜

5

4

e-

1

2

，
所以

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4

e-

1

2

…（14分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，运算量大，综合性强，转化过程复杂，属于难题．