Question

若一个底面边长为

6

2

的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，若此球的体积为4

3

π，则正六棱柱的体积为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O₁，O₂，球心为O，一个顶点为A，如图．可根据题中数据结合勾股定理算出O₁O=

6

2

，再求出正六棱柱的体积．

解答： 解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，
设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O₁，O₂，则球心O是O₁，O₂的中点．
∵球的体积为4

3

π，
∴球的半径为

3

，
∵正六棱柱底面边长为

6

2

，
∴Rt△AO₁O中，AO₁=

6

2

，AO=

3

，∴O₁O=

6

2

，
因此，该正六棱柱的体积为V=6×

3

4

×（

6

2

）²×

6

=

27

4

2

．
故答案为：

27

4

2

．

点评：本题给出一个正六棱柱，求它的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点，属于基础题．