Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁、F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

(1)求椭圆的方程．

(2)若直线l₁：x＝m(|m|＞1)，P为l₁上的动点，使∠F₁PF₂最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)， 　　半焦距为c，则l的方程为x＝－． 　　∴|MA1|＝－a，|A1F1|＝a－c． 　　由题意得 　　∴a＝2，b＝3，c＝1．故所求椭圆方程为＝1． 　　(2)设P(m，y0)，|m|＞1，当y0＝0时，∠F1PF2＝0， 　　当y0≠0时，0＜∠F1PF2＜． 　　∴只需求tan∠F1PF2最大时y0的值即可． 　　设直线PF1的斜率为k1＝，直线PF2的斜率为k2＝， 　　∴tan∠F1PF2＝|． 　　当且仅当＝|y0|，即y0＝±时，∠F1PF2最大． 　　∴所求点Q的坐标为Q(m，±)．

提示：

本题主要考查椭圆的几何性质与定义、标准方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．可利用圆锥曲线的统一定义求出方程，再用斜率公式、夹角公式求解第(2)问．