Question

在双曲线=－1的一支上有不同三点A(x₁，y₁)、B(x₂，6)、C(x₃，y₃)与点F(0，5)的距离|AF|、|BF|、|CF|依次成等差数列。

(1)求y₁+y₃的值；

(2)求证线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点的坐标。　

 

Answer 1

答案：
解析：

双曲线的标准方程=1。易知F(0，5)为双曲线上的焦点，A、B、C是双曲线上支上的三点，|AF|、|BF|、|CF|均为焦半径，故考虑运用双曲线的第二定义解答 (1)a2=12，b2=13，∵c2=25，，F(0，5)为上焦点，上准线方程为y=，如图所示，根据双曲线的第二定义，有 ∵2|BF|=|AF|+|CF|，∴y1+y3=12. (也可以用第一定义求解，请读者自己完成)。 (2)设AC的中点为M(x0，y0)，则y0==6，即M的坐标为(x0，6)。问题涉及弦的中点，故用差分法求AC的斜率kAC。 ∵A、C在双曲线上， ∴    ①—②，得 ∴ ∴ ∴ AC的垂直平分线的方程是y－6=(x－x0)，令x=0，得y=，故它经过定点(0，)。