Question

在双曲线

y2

12

-

x2

13

=1的一支上不同的三点A（x₁，y₁）、B（

26

，6）、C（x₂，y₂）与焦点F（0，5）的距离成等差数列．
（1）求y₁+y₂；
（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的焦半径公式可知|AF|=ey1-2

3

，|BF|=6e-2

3

，|CF|=ey2-2

3

，再由|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，可求出y₁+y₂的值．
（2）借助点差法求出AC的垂直平分线方程为y-6=-

13x

x1+x2

+

13

2

，由此可以得到不论-

13

x1+x2

为何值，直线恒过定点(0，

25

2

)．

解答：解：（1）由题设知，A、B、C在双曲线的同一支上，且y₁，y₂均大于0，
∴由双曲线的焦半径公式可知|AF|=ey1-2

3

，|BF|=6e-2

3

，|CF|=ey2-2

3

，
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，∴6e=

ey1+ey2

2

，
∴y₁+y₂=12．
（2）证明：∵A，C在双曲线上，∴

y 2 1

12

-

x 2 1

13

=1，且

y 2 2

12

-

x 2 2

13

=1．两式相减得

y1-y2

x1-x2

=

12

13

•

x1+x2

y1 +y2

=

x1+x2

13

，
于是AC的垂直平分线方程为y-6=-

13

x1+x2

(x-

x1+x2

2

)，即y-6=-

13x

x1+x2

+

13

2

，
∴y=-

13x

x1+x2

+

25

2

．
∴不论-

13

x1+x2

为何值，直线恒过定点(0，

25

2

)．

点评：本题考查双曲线的性质及其运用，解题时要注意点差法的合理应用．