Question

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），当x∈（-1，0）时有f（x）＞0．
求证：f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：先利用赋值法研究函数f（x）的性质，令x=y=0得，f（0）=0，再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以该函数是奇函数；再将

1

n2+3n+1

变成

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 • 1 n+2

，
则f（

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 • 1 n+2

）=f（

1

n+1

）+f（-

1

n+2

）=f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

），则依此规律，然后利用列项法将左边化简，最后利用单调性解决问题．

解答： 解：由已知令x=y=0代入f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），得，f（0）=0；
同理，再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以该函数是奇函数，
再结合f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），
∴f（

1

n2+3n+1

）=f（

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 • 1 n+2

）=f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

），
∴原式左边=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+f（

1

4

）-f（

1

5

）+…+f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

）
=f（

1

2

）-f（

1

n+2

），
∵当x∈（-1，0）时有f（x）＞0，且f（x）是奇函数，
∴-f（

1

n+2

）=f（-

1

n+2

）＞0，
∴f（

1

2

）-f（

1

n+2

）＞f(

1

2

)，
即f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)．

点评：此题有一定难度．一般先利用赋值法求出f（0），f（1），f（-1）等等，然后判断函数的奇偶性，单调性等性质；同时本题联系到条件f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），将左边拆项，错位相减进行化简，有一定的技巧性和难度，需要细细体会．