题目内容
15．将二项式${（{\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{3}{x}}}}）^n}$的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（ ）| A． | 3个 | B． | 4个 | C． | 5个 | D． | 6个 |
分析 写出展开式的通项，利用前三项系数成等差数列，求出n，进而可求展开式中x的指数是整数的项的个数．
解答 解：展开式的通项为Tr+1=${C}_{n}^{r}$×（$\frac{1}{2}$）r×x${\;}^{\frac{2n-3r}{3}}$（r=0，1，2，…，n），
∴前三项的系数分别是1，$\frac{1}{2}$n，$\frac{1}{8}$n（n-1），
∵前三项系数成等差数列
∴2•$\frac{1}{2}$n=1+$\frac{1}{8}$n（n-1）
∴n=8，
∴当n=8时，Tr+1=${C}_{n}^{r}$×（$\frac{1}{2}$）r×x${\;}^{\frac{2n-3r}{3}}$（r=0，1，2，…，n），
∴r=0，4，8，展开式中x的指数是整数
故选：A．
点评 本题考查二项展开式，考查等差数列的运用，考查展开式的特殊项，确定n是关键．
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