Question

已知数列{a_n }的各项为正数，前n和为S_n且S_n=

an(an+1)

2

，n∈N+
（Ⅰ）求证：数列{a_n }是等差数列；  
（Ⅱ）设bn=2nan，T_n=b₁+b₂+…+b_n求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由递推式求出a₁，把递推式两边同时乘以2后用n-1替换n，两式作差后可断定数列{a_n }是等差数列；
（Ⅱ）求出等差数列{a_n }的通项公式，代入b_n后运用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=

an(an+1)

2

，n∈N+
得：S1=

a1(a1+1)

2

，∴a₁=1，
再由S_n=

an(an+1)

2

，n∈N+，得：2Sn=an2+an①
所以2Sn-1=an-12+an-1  (n≥2)②
①-②得：2an=an2-an-12+an-an-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
因为数列{a_n }的各项为正数，所以a_n-a_n-1=1（n≥2），
所以数列{a_n }是等差数列；
（Ⅱ）由（1）可得a_n=n，
所以bn=n2n，
所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+2×22+…+n•2n③
则2Tn=1×22+2×23+…+n•2n+1④
④-③得：-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
所以Tn=n•2n+1+2-2n+1．

点评：本题考查了等差数列的确定，考查了等差数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的和，一个等差数列和一个等比数列的积数列，求其前n项和的方法就是错位相减法，此题是中档题．