Question

11．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线交双曲线C的右支于A，B两点，如果|AF₁|=3a，|BF₁|=5a，则此双曲线的渐近线方程为y=$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x．

Answer 1

分析 根据双曲线的定义得到|BF₂|=a，|BF₂|=3a，从而得到三角形F₁AB是直角三角形，根据勾股定理建立方程关系即可得到结论．

解答 解：∵|AF₁|=3a，|BF₁|=5a，
∴|AF₁|-|BF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，
则3a-|BF₂|=2a，5a-|BF₂|=2a，
即|BF₂|=a，|BF₂|=3a，
即|AB|=|BF₂|+|BF₂|=a+3a=4a，
则满足|AF₁|²+|AB|²=|BF₁|²，
则∠F₁AB=90°，
则|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
即9a²+a²=4c²，
即10a²=4（a²+b²），
得3a²=2b²，
即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，即$\frac{b}{a}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即双曲线的渐近线方程为y=$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x，
故答案为：y=$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x．

点评 本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据条件结合双曲线的定义判断三角形F₁AB是直角三角形是解决本题的关键．