Question

10．在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，已知b sinB=c sinC且sinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求tanA的值；   
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanA的值．
（Ⅱ）若a=2，利用余弦定理求得b²的值，再根据△ABC的面积 S_△ABC=$\frac{1}{2}$•bc•sinA=$\frac{1}{2}$•b²•sinA，求得结果．

解答 解：（Ⅰ）由bsinB=csinC及正弦定理得b²=c²，则b=c，从而B=C，
∴cosA=cos（π-B-C）=-cos（B+C）=-cos2B=2sin²B-1=$-\frac{1}{3}$，∴A为钝角，
∴$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}=-2\sqrt{2}$．
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得，$4=2{b^2}+\frac{2}{3}{b^2}$，∴${b^2}=\frac{3}{2}$，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•bc•sinA=$\frac{1}{2}$•b²•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．