Question

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)证明：BD∥平面PEC；

(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.

Answer 1

解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，

∴V_P－ABCD＝PA×S_ABCD＝×4×4×4＝.

(2)证明：连结AC交BD于O点，

取PC中点F，连结OF，

∵EB∥PA，且EB＝PA，

又OF∥PA，且OF＝PA，

∴EB∥OF，且EB＝OF，∴四边形EBOF为平行四边形，∴EF∥BD.

又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.

(3)连结BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，

∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE.

又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG.