Question

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）证明：BD∥平面PEC；
（3）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．

Answer 1

分析：（1）结合三视图，得到几何体的相关棱长，求四棱锥P-ABCD的底面面积和高，然后求出体积；
（2）连接AC交BD于O点，取PC中点F，连接OF，要证明BD∥平面PEC，只需证明BD平行平面PEC内的直线EF即可；
（3）连接BP，要证AE⊥PG，只需证明AE⊥平面PBG，即可证明AE⊥PG．

解答：解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，
∴V_P-ABCD=

1

3

PA×S_ABCD=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

．
（2）证明：连接AC交BD于O点，
取PC中点F，连接OF，
∵EB∥PA，且EB=

1

2

PA，
又OF∥PA，且OF=

1

2

PA，
∴EB∥OF，且EB=OF，
∴四边形EBOF为平行四边形，
∴EF∥BD．
又EF?平面PEC，BD?平面PEC，所以BD∥平面PEC．
（3）连接BP，∵

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA=∠BAP=90°，
∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA=∠BEA，
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，
∴PB⊥AE．
又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG．

点评：本题考查三视图，几何体的条件，直线与平面垂直和平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．