Question

如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图（其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示）．

（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）若G为BC的中点，求证：AE⊥PG．

Answer 1

分析：（I）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，求出棱锥的高PA的长，及底面面积，代入棱锥的体积公式即可得到答案．
（II）连BP，由已知中

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA与∠BAP均为直角，我们可以得到∴△EBA∽△BAP，然后根据三角形性质，对应角相等，得到PB⊥AE，结合BC⊥AE，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥面PBG，再由线面垂直的性质定理，即可得到答案．

解答：解（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，（2分）
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，（4分）
∴V_P-ABCD=

1

3

PA_xS_ABCD=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

．（5分）
（Ⅱ）连BP，∵

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA=∠BAP=90°，（7分）
∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA=∠BEA，（8分）
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，∴PB⊥AE．（10分）
又∵BC⊥面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥面PBG，∴AE⊥PG．（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及由三视图求体积，其中根据由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，高为PA为4

2

的四锥棱及其中相关的线面关系是解答本题的关键．