Question

如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图（其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示）．

（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，求出底面面积和高，即可求出几何体的体积．
（Ⅱ）由三视图可知，BE⊥BC，BE⊥BA，以B为原点，以BC，BA，BE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
求出平面PCD的法向量为

n1

=（x，y，z），平面PCE的法向量为

n2

，利用cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

，求出二面角E-PC-D的大小．

解答：解：（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，（1分）
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，（3分）
∴V_P-ABCD=

1

3

PA•S_ABCD=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

．（4分）
（Ⅱ）由三视图可知，BE⊥BC，BE⊥BA，以B为原点，以BC，BA，BE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（0，0，4

2

），D（4，4，0）C（0，4，0）．（5分）
所以

PD

=(4，0，-4

2

)，

CD

=(0，4，0)．设平面PCD的法向量为

n1

=（x，y，z）

n1 • PD =0 n1 • CD =0

，即

4x-4 2 z=0 4y=0

，取

n1

=(

2

，0，1)．（8分）
设平面PCE的法向量为

n2

，同理可求

n2

=(1，-1，

2

)．（10分）cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

6

3

．所以二面角E-PC-D的大小为π-arccos（

6

3

）．（12分）

点评：本题是中档题，考查三视图的知识，几何体的体积的求法，二面角的求法，考查计算能力，转化思想，空间想象能力的应用．