Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）（x＞0）}\end{array}\right.$，若关于x方程f（x）=ax有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 我们在同一坐标系中画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）（x＞0）}\end{array}\right.$的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，我们易求出满足条件实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）（x＞0）}\end{array}\right.$，
的图象如图所示，
当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=ax的图象有三个交点，
即方程f（x）=ax有三个不相等的实数根．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，将方程f（x）=ax根的个数，转化为求函数零点的个数，并用图象法进行解答是本题的关键．