Question

已知

a

=（

3

sinx，cosx+sinx），

b

=（2cosx，sinx-cosx），f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[

5π

24

，

5π

12

]时，对任意t∈R，不等式mt²+mt+3≥f（x）恒成立，求实数的m取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间．
（2）根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m的取值范围．

解答： 解：（1）已知，

a

=（

3

sinx，cosx+sinx），

b

=（2cosx，sinx-cosx），
则：f（x）=

a

•

b

=2

3

sinxcosx+(cosx+sinx)（sinx-cosx）
=

3

sin2x-cos2x
=2sin(2x-

π

6

)，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，
所以：函数f（x）的单调递增区间为：[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）．
（2）当x∈[

5π

24

，

5π

12

]时，

π

4

≤2x-

π

6

≤

2π

3

，

2

≤2sin(2x-

π

6

)≤2，
对任意t∈R，不等式mt²+mt+3≥f（x）恒成立．
只需满足：mt²+mt+3≥f（x）_max成立即可．
即mt²+mt+1≥0即可．
①当m=0时，恒成立
②当m≠0时，只需满足

m＞0 △≤0

解得：0＜m≤4
综合所得：0≤m≤4．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的单调区间，恒成立问题的应用．属于基础题型．