Question

（本小题满分12分）
已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．
（Ⅰ）求函数的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）；；的取值范围为

（Ⅰ），由题意知，
即得，（*），．
由得，
由韦达定理知另一个极值点为（或）．
（Ⅱ）由（*）式得，即．
当时，；当时，．
（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．
，
，
由及，解得．
（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．
，
恒成立．
综上可知，所求的取值范围为．