题目内容

已知△ABC中，cosB=
11
14
，cosC=
13
14
，BC=7
（1）求cosA
（2）求|
AB
+
AC
|．
分析：（1）由cosB和cosC的值，由B和C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinB和sinC的值，然后由诱导公式得到cosA=-cos（B+C），利用两角和的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出cosA的值；
（2）先由BC的长，sinA，sinB及sinC的值，利用正弦定理求出AC与AB的长，然后把所求的式子平方，化简后将AC与AB的长代入，并利用平面向量的数量积运算法则计算得到最后结果，开方即可求出所求式子的值．
解答：解：（1）∵cosB=
11
14
，cosC=
13
14
，
∴sinB=
1-cos2B
=
5
3
14
，sinC=
1-cos2C
=
3
3
14
，
则cosA=cos[π-（B+C）]=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC
=-
11
14
×
13
14
+
5
3
14
×
3
3
14
=-
1
2
；
（2）由正弦定理可得
BC
3
2
=
AC
5
3
14
=
AB
3
3
14
，又BC=7，
所以AC=5，AB=3，
由|
AB
+
AC
|平方得：|
AB
+
AC
|2=
|AB
|2+
|AC
|2+2
AB
•
AC

=25+9+2×5×3cosA=34-15=19，
则|
AB
+
AC
|=
19
．
点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式及两角和的余弦函数公式，正弦定理及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握公式、法则及定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，直三棱柱ABC-A′B′C′内接于高为
2
的圆柱中，已知∠ACB=90°，AA′=
2
，BC=AC=1，O为AB的中点．
求（1）圆柱的全面积；
（2）异面直线AB′与CO所成的角的大小；
（3）求二面角A′-BC-A的大小．
精英家教网已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则
OA/
AA/
+
OB/
BB/
+
OC/
CC/
=1，这是平面几何中的一个命题，其证明方法常采用“面积法”：
OA/
AA/
+
OB/
BB/
+
OC/
CC/
=
S△OBC
S△ABC
+
S△OCA
S△ABC
+
S△OAB
S△ABC
=
S△ABC
S△ABC
=1．运用类比猜想，对于空间四面体存在什么类似的命题？并用“体积法”证明．
已知O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
=1，这是平面几何中的一个命题，运用类比猜想，对于空间四面体ABCD中，若O四面体ABCD内任意点存在什么类似的命题
VO-BCD
VABCD
+
V0-ABD
VABCD
+
VO-ACD
VABCD
+
VO-ABC
VABCD
=1
VO-BCD
VABCD
+
V0-ABD
VABCD
+
VO-ACD
VABCD
+
VO-ABC
VABCD
=1
．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量
m
=（2a-c，b）与向量
n
=（cosB，-cosC）互相垂直．
（1）求角B的大小；
（2）求函数y=2sin2C+cos（B-2C）的值域；
（3）若AB边上的中线CO=2，动点P满足
AP
=sin2θ•
AO
+cos2θ•
AC
(θ∈R)，求(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值．
已知O是△ABC内任意一点，连接AO、BO、CO并延长交对边于A′、B′、C′，则
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
=1，运用类比猜想，对于空间中四面体A-BCD有
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′
=1
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′
=1
．

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