Question

已知n∈N^*，且(x+

1

2

)n展开式中前三项系数成等差数列．
（1）求n；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）若(x+

1

2

)n=a0+a1(x-

1

2

)+a2(x-

1

2

)2+…+an(x-

1

2

)n，求a₀+a₁+…+a_n的值．

Answer 1

（1）由于二项式的通项公式为T_r+1=

C

rn

x^n-r•(

1

2

)r=(

1

2

)r•

C

rn

•x^r，
则由题意得

C

0n

+(

1

2

)2

C

2n

=2(

1

2

C

1n

)，…（2分）
解得n=8．…（4分）
（2）由（1）知，二项式系数最大的值为

C

48

，为第五项．…（6分）
且 T5=

C

48

x4(

1

2

)4=

35

8

x4．…（8分）
（3）∵(x+

1

2

)8=[(x-

1

2

)+1]8=a0+a1(x-

1

2

)+a2(x-

1

2

)2+…+a8(x-

1

2

)8，…（9分）
令x=

3

2

，…（10分）
得a0+a1+…+a8=28=256．…（12分）