题目内容
若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）的最小值为-2，且它的图象经过点（0，
）和（
，0）．
（1）写出一个满足条件的函数解析式f（x）；
（2）若函数f（x）在（0，
]上单调递增，求此函数所有可能的解析式；
（3）若函数f（x）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，求ω的值．
| π |
| 2 |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
（1）写出一个满足条件的函数解析式f（x）；
（2）若函数f（x）在（0，
| π |
| 8 |
（3）若函数f（x）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，求ω的值．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）依题意，易求A=2，φ=
；又它的图象经过点（
，0），可得
ω+
=kπ，k∈Z．分点（
，0）为半周期点与整周期点讨论，即可求得满足条件的函数解析式；
（2）f（x）=2sin（ωx+
），最大的值点ωx+
=
⇒x=
，令
≥
，可解得ω的取值范围，从而可得函数所有可能的解析式；
（3）利用正弦函数的单调递减性质，可求得其单调递减区间[
+
，
+
]，（k∈Z），由
≤2与
+
＞2可得ω的取值范围，从而可得ω的值．
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
（2）f（x）=2sin（ωx+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6ω |
| π |
| 6ω |
| π |
| 8 |
（3）利用正弦函数的单调递减性质，可求得其单调递减区间[
| 2kπ |
| ω |
| π |
| 6ω |
| 2kπ |
| ω |
| 7π |
| 6ω |
| 7π |
| 6ω |
| 2π |
| ω |
| π |
| 6ω |
解答：
解：（1）依题意知，A=2，f（0）=2sinφ=
，即sinφ=
，
∵|φ|＜
，
∴φ=
；
∴f（x）=2sin（ωx+
）；
又它的图象经过点（
，0），
∴
ω+
=kπ，k∈Z．
当点（
，0）为半周期点时，
ω+
=π⇒ω=
；
当点（
，0）为整周期点时，
ω+
=2π⇒ω=2．
∴满足条件的函数解析式为f（x）=2sin（
x+
）或f（x）=2sin（2x+
）．
（2）设函数f（x）在（0，
]上单调递增，
∵f（x）=2sin（ωx+
），
最大的值点ωx+
=
⇒x=
，
令
≥
，解得0＜ω≤
；
∴函数f（x）在（0，
]上单调递增，ω取值范围为ω∈（0，
]，
∵ω=
＜
满足题意，ω=2＞
不满足题意，
综上：满足题意，且在（0，
]上单调递增的函数解析式只有f（x）=2sin（
x+
）；
（3）∵f（x）=2sin（ωx+
），
∴单调递减区间可由下面的不等式获得：
2kπ+
≤ωx+
≤2kπ+
?
+
≤x≤
+
，（k∈Z）；
令
≤2，则ω≥
；
由
+
＞2得，ω＜
，
∴在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，ω∈[
，
）
函数f（x）满足题意，且在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，ω=2．
| 3 |
| ||
| 2 |
∵|φ|＜
| π |
| 2 |
∴φ=
| π |
| 3 |
∴f（x）=2sin（ωx+
| π |
| 3 |
又它的图象经过点（
| 5π |
| 6 |
∴
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
当点（
| 5π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
当点（
| 5π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴满足条件的函数解析式为f（x）=2sin（
| 5 |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）设函数f（x）在（0，
| π |
| 8 |
∵f（x）=2sin（ωx+
| π |
| 3 |
最大的值点ωx+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6ω |
令
| π |
| 6ω |
| π |
| 8 |
| 4 |
| 3 |
∴函数f（x）在（0，
| π |
| 8 |
| 4 |
| 3 |
∵ω=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
综上：满足题意，且在（0，
| π |
| 8 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
（3）∵f（x）=2sin（ωx+
| π |
| 3 |
∴单调递减区间可由下面的不等式获得：
2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| 2kπ |
| ω |
| π |
| 6ω |
| 2kπ |
| ω |
| 7π |
| 6ω |
令
| 7π |
| 6ω |
| 7π |
| 12 |
由
| 2π |
| ω |
| π |
| 6ω |
| 13π |
| 12 |
∴在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，ω∈[
| 7π |
| 12 |
| 13π |
| 12 |
函数f（x）满足题意，且在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，ω=2．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查综合分析与应用能力，属于难题．
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