Question

12．已知函数f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0
（Ⅰ）设h（x）=（2x-3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；
（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；
（Ⅱ）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为$\frac{3}{2}$，
即a²-4=0，解得a=±2；
（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为$\frac{3}{2}$，
代入得$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}$a+1=0，
解得a=-$\frac{13}{6}$，检验满足△＞0；
综上所述，a的取值集合为{-$\frac{13}{6}$，-2，2}．
（Ⅱ）（1）若-$\frac{a}{2}$≤0，即a≥0时，
函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，
故y_max=f（1）=2+a；
（2）若0＜-$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜0时，
此时△=a²-4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；
故y_max=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=$\left\{\begin{array}{l}{a+2，a≥-1}\\{1，a＜-1}\end{array}\right.$，
（3）若-$\frac{a}{2}$≥1，即a≤-2时，
此时f（1）=2+a≤0，y_max=max{f（0），-f（1）}=max{1，-a-2}=$\left\{\begin{array}{l}{1，a≥-3}\\{-a-2，a＜-3}\end{array}\right.$，
综上所述，y_max=$\left\{\begin{array}{l}{a+2，-1≤a＜0或a＞0}\\{1，-3≤a＜-1}\\{-a-2，a＜-3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及数形结合的思想应用，同时考查了二次函数的性质应用，属于中档题．