Question

17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，底面ABCD为正方形，E为DP的中点，AF⊥PC于F．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向理量法能证明PC⊥平面AEF．
（Ⅱ）先求出平面AEC的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角B-AC-E的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AD=2，则P（0，0，2），C（2，2，0），
D（2，0，0），B（0，2，0），E（1，0，1），A（0，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（1，0，1），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），
$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AE}$=2+0-2=0，∴PC⊥AE，
∵AF⊥PC于F，AE∩AF=A，
∴PC⊥平面AEF．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，0，1），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角B-AC-E的平面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．