Question

7．如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ECD．
（Ⅱ）求D点到面CEB的距离．

Answer 1

分析 （ I）由条件证明ED⊥BD，再根据BD⊥CD，利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥平面ECD．
（ II）先求△CBE的面积，Rt△BCD的面积，设点D到到面CEB的距离为h，利用等体积法求点D到平面CBE的距离h的值．

解答 （ I）证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴ED⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD．
又∵BD⊥CD，ED∩CD=D，
∴BD⊥平面ECD．
（ II）解：∵CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，
又∵正方形ADEF，∴CB=2，CE=$\sqrt{5}$，$BE=\sqrt{7}$，
∴$cos∠BCE=\frac{4+5-7}{{2×2×\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{10}$，∴${S_{△CEB}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{95}}}{10}=\frac{{\sqrt{19}}}{2}$，
Rt△BCD的面积等于 S_△BCD=$\frac{1}{2}$•1•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由得（ I）ED⊥平面ABCD，∴点E到平面BCD的距离为ED=2，设点D到到面CEB的距离为h，
∴${V_{D-CEB}}={V_{E-CDB}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.1.\sqrt{3}.2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{19}}}{2}×h$，∴h=$\frac{2\sqrt{57}}{19}$，
即点D到到面CEB的距离为$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．