Question

2．已知x＞0，y＞0，若-1≤lg$\frac{x}{y}$≤2，1≤lg（xy）≤4，则lg$\frac{{x}^{2}}{y}$的取值范围是（　　）

• A． [-1，5]
• B． [-1，4]
• C． （2，6）
• D． （0，5）

Answer 1

分析 由1≤lg（xy）≤4，-1≤lg$\frac{x}{y}$≤2，可得：1≤lgx+lgy≤4，-1≤lgx-lgy≤2，而lg$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy，设2lgx-lgy=m（lgx+lgy）+n（lgx-lgy），利用“待定系数法”即可得出．

解答 解：由1≤lg（xy）≤4，-1≤lg$\frac{x}{y}$≤2，可得：1≤lgx+lgy≤4，-1≤lgx-lgy≤2，
而lg$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy
设2lgx-lgy=m（lgx+lgy）+n（lgx-lgy），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{m-n=-1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{3}{2}$．
∴lg$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy=$\frac{1}{2}$（lgx+lgy）+$\frac{3}{2}$（lgx-lgy），
∴-1≤lg $\frac{{x}^{2}}{y}$≤5，
故选：A．

点评 本题考查了不等式的性质、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．