Question

11．某商场举行抽奖活动，规则如下：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次抽奖都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球个数不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）在一次游戏中，求获奖的概率；
（Ⅱ）在三次游戏中，记获奖次数为随机变量X，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设在一次游戏中获奖为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出获奖的概率．
（Ⅱ）由题意可知：一次游戏中获奖的概率为$\frac{3}{5}$，三次游戏，相当于进行三次独立重复试验，X可能取的值为0，1，2，3，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）设在一次游戏中获奖为事件A，
则P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．…（4分）
（Ⅱ）由题意可知：一次游戏中获奖的概率为$\frac{3}{5}$，
三次游戏，相当于进行三次独立重复试验，X可能取的值为0，1，2，3．…（5分）
P（X=0）=（1-$\frac{3}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，…（6分）
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{36}{125}$，…（7分）
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×（\frac{3}{5}）^{2}（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{54}{125}$，…（8分）
P（X=3）=（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$．…（9分）
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

…（10分）
∴E（X）=$0×\frac{8}{125}+1×\frac{36}{125}+2×\frac{54}{125}+3×\frac{27}{125}$=$\frac{9}{5}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．