Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（S_n-1）²=a_nS_n．
（Ⅰ）求S₁、S₂、S₃；
（Ⅱ）猜想S_n的表达式，并用数字归纳法证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（S_n-1）²=a_nS_n，可得S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，即可求S₁，S₂，S₃；     
（Ⅱ）猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，再用数学归纳法证明．

解答 解：（Ⅰ）∵（S_n-1）²=a_nS_n，
∴（S_n-1）²=（S_n-S_n-1）S_n，
∴S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，
又（S₁-1）²=S₁²，
∴S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{2}{3}$，S₃=$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$
下面用数学归纳法证明：
1°当n=1时，S₁=$\frac{1}{2}$猜想正确；
2°假设当n=k时，猜想正确S_k+1=$\frac{1}{2-{S}_{k}}$，即S_k=$\frac{k}{k+1}$，
那么，n=k+1时，由S_k+1=$\frac{1}{2-{S}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+1+1}$，猜想也成立，
综上知S_n=$\frac{n}{n+1}$对一切自然数n均成立．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．