Question

2．已知抛物线y²=6x上的两个动点A和B，F是焦点，满足AF+BF=7，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求点C的坐标．

Answer 1

分析 设抛物线上两个动点A、B的坐标，由|AF|+BF|=7，结合焦半径可得AB的中点的坐标，把A、B的坐标代入抛物线方程，用点差法求得AB的斜率，则AB的垂直平分线方程可求，取y=0可得C点坐标．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁²=6x₁，y₂²=6x₂，
两式作差得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=6（x₁-x₂），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，即AB的斜率为$\frac{6}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
由|AF|+BF|=7，抛物线的准线为x=-$\frac{3}{2}$，
由抛物线的定义可得x₁+x₂+3=7，
∴x₁+x₂=4．
∴AB的中点坐标为（2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
∴AB的垂直平分线方程为y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{6}$（x-2），
取y=0，得x=5．
∴点C的坐标为（5，0），

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力．