Question

16．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的线段长．

Answer 1

分析 （I）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1消去参数θ，可得直角坐标方程，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ即可化为极坐标方程．
（II）把直线l的极坐标方程θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）代入圆的极坐标方程即可得出．

解答 解：（I）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去参数θ，可得：（x-2）²+y²=4，
展开为：x²+y²-4x=0，可得极坐标方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（II）把直线l的极坐标方程θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）代入圆的极坐标方程可得：ρ=4$cos\frac{π}{6}$=2$\sqrt{3}$．
由于圆与直线都经过原点，因此直线l被曲线C截得的线段长=|OP|=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．