Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a（a＞3），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若（n∈N^*），证明对任意的n∈N^*，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意得S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此可知得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．所以b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由已知，先求c_n=3n-2，从而将问题转化为，用数学归纳法证明．
解答：（Ⅰ）解：依题意，S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．因此，所求通项公式为b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．…（5分）
（Ⅱ）证明：由已知，
则，所以．…（7分）
下面用数学归纳法证明不等式成立．
①当n=1时，左边=2，右边=，因为，所以不等式成立．…（8分）
②假设当n=k时不等式成立，即成立．
则当n=k+1时，左边
===．…（11分）
要证成立，只需证成立，
由于（3k+1）²＞0，只需证（3k+2）³＞（3k+4）（3k+1）²成立，只需证27k³+54k²+36k+8＞27k³+54k²+27k+4成立，
只需证9k+4＞0成立，由于k∈N*，所以9k+4＞0成立．即=成立．
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①，②可得不等式恒成立．…（14分）
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．