Question

7．已知f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在定义域上的最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞$\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，极值点和单调区间，可得极小值和最小值；
（Ⅱ）讨论$0＜t＜\frac{1}{e}$时，$t≥\frac{1}{e}$时，运用单调性，即可得到所求最小值；
（Ⅲ）问题等价于证明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$．由（1）设$m（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$，求出导数，求出最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，x＞0得f'（x）=lnx+1，
令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{e}$．
当$x∈（0，\frac{1}{e}）$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
可得最小值为-$\frac{1}{e}$…（3分）
（Ⅱ）当$0＜t＜\frac{1}{e}＜t+2$，即$0＜t＜\frac{1}{e}$时，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$…（4分）
当$\frac{1}{e}≤t＜t+2$，即$t≥\frac{1}{e}$时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
此时f（x）_min=f（t）=tlnt…（6分）
所以$f{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e}，0＜t＜\frac{1}{e}}\\{tlnt，t≥\frac{1}{e}}\end{array}}\right.$…（8分）
（Ⅲ）问题等价于证明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$．
由（1）知f（x）=xlnx，x＞0的最小值是$-\frac{1}{e}$，
当且仅当$x=\frac{1}{e}$时取到，设$m（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$，
则$m'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，易知$m{（x）_{max}}=m（1）=-\frac{1}{e}$，当且仅当x=1时取到．
从而对一切x∈（0，+∞），都有$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．…（12分）

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，注意运用分类讨论的方法和构造函数的方法，考查运算能力，属于中档题．